Книга Основы математического анализа. Учебник для вузов | Львовский С. М.

Аннотация к книге "Основы математического анализа. Учебник для вузов"

В основе этого продвинутого учебника по математическому анализу - курс, который читался автором на факультете математики Высшей школы экономики. Представленный в книге материал имеет ряд отличий от традиционных курсов. Так, ряды вводятся сразу же после определения предела последовательности; в книгу входит экскурс в элементарную теорию множеств (включая лемму Цорна и ее применения) и в общую топологию (включая канторово множество и p-адические числа). Заметное место в учебнике уделено анализу на многообразиях, включая дифференциальные формы, теорему Стокса и теорему Фробениуса.
Учебник будет полезен студентам младших курсов математических специальностей, преподавателям математики, а также всем интересующимся этой наукой.

Cодержание

Предисловие
Глава 1. Введение в анализ
1.1. Предел последовательности
1.2. Множества
1.3. Множества (продолжение)
1.4. Некоторые классические пределы
1.5. Ряды
1.6. Построение действительных чисел
1.7. Свойства полноты действительных чисел
1.8. Некоторые следствия из свойств полноты
1.9. Ряды с произвольными членами
1.10. Упражнения
Глава 2. Производная; элементарные функции
2.1. Определение и простейшие свойства
производных
2.1.1. Предел функции
2.1.2. Производная
2.2. Непрерывные функции
2.3. Степень с рациональным показателем,
экспонента, логарифм
2.4. Исследование функций с помощью
производной
2.5. Тригонометрия
2.6. Вторая производная и выпуклость
2.7. Символы о и О, теорема о среднем, формула
Тейлора
2.8. Нахождение пределов
2.9. Упражнения
Глава 3. Элементарные понятия топологии
3.1. Отношения и лемма Цорна
3.2. Топологические пространства
3.3. Непрерывность и пределы
3.3.1. Пределы и непрерывность в метрических
пространствах
3.3.2. Общее определение предела
3.4. Компактность
3.5. Связность
3.6. Полнота и пополнение
3.7. p-адические числа и канторово множество
3.8. Канторово множество
3.9. Упражнения
Глава 4. Интеграл
4.1. Равномерная сходимость; равномерная
непрерывность
4.2. Интеграл от кусочно-непрерывной функции
4.3. Неопределенный интеграл
4.4. Некоторые классы функций, интегралы
которых — также эле­ментарные функции
4.5. Почленное дифференцирование
4.6. Несобственные интегралы
4.7. Упражнения
Глава 5. Функциональные ряды
5.1. Равномерная и нормальная сходимости
5.2. Аналитические функции
5.3. Разложение элементарных функций в ряды
5.4. Теорема Стоуна-Вейерштрасса
5.5. Упражнения
Глава 6. Кратные интегралы
6.1. Определение кратного интеграла
6.2. Интегралы по открытым подмножествам
6.3. Упражнения
Глава 7. Дифференцирование функций нескольких
переменных
7.1. Конечномерные нормированные пространства
7.2. Производная в многомерном случае
7.3. Высшие производные
7.4. Исследование функций на экстремум
7.5. Упражнения
Глава 8. Теоремы о неявной и обратной функциях и
их приложения
8.1. Теорема об обратной функции
8.2. Теорема о неявной функции
8.3. Замена переменной в определенном интеграле
8.4. Упражнения
Глава 9. Абстрактные многообразия и векторные
поля
9.1. Абстрактные многообразия
9.2. Касательные пространства
9.3. Векторные поля: алгебра
9.4. Теорема Арцела-Асколи и дифференциальные
уравнения
9.5. Векторные поля: геометрия
9.6. Упражнения
Глава 10. Дифференциальные формы и
интегрирование на многооб­разиях
10.1. Интегрирование плотностей
10.1.1. Разбиение единицы
10.2. Дифференциальные формы
10.2.1. Формы степени 1
10.2.2. Интегрирование 1-форм
10.2.3. Немного линейной алгебры
10.2.4. Формы произвольной степени
10.3. Неформальная формулировка теоремы Стокса
10.4. Интегрирование форм по многообразиям
10.4.1. Ориентация многообразия
10.4.2. Многообразия с краем
10.4.3. Теорема Стокса
10.5. Классический векторный анализ
10.6. Сингулярные симплексы
10.7. Понятие о когомологиях де Рама
10.8. Теорема Фробениуса
10.9. Упражнения
Предметный указатель