Книга Основы математического анализа. Учебник для вузов | Львовский С. М.

Анотація до книги "Основы математического анализа. Учебник для вузов"

В основі цього просунутого підручника з математичного аналізу - курс, який читав автор на факультеті математики Вищої школи економіки. Представлений у книзі матеріал має низку відмінностей від традиційних курсів. Так, ряди вводяться відразу після визначення межі послідовності; до книги входить екскурс в елементарну теорію множин (включаючи лему Цорна та її застосування) та в загальну топологію (включаючи канторове безліч і p-адичні числа). Помітне місце в підручнику приділено аналізу на різноманіттях, включаючи диференціальні форми, теорему Стокса і теорему Фробеніуса.
Підручник буде корисний студентам молодших курсів математичних спеціальностей, викладачам математики, а також всім, хто цікавиться цією наукою.

Предмова
Глава 1. Введення в аналіз
1.1. Межа послідовності
1.2. Безліч
1.3. Безліч (продовження)
1.4. Деякі класичні межі
1.5. Ряди
1.6. Побудова дійсних чисел
1.7. Властивості повноти дійсних чисел
1.8. Деякі наслідки властивостей повноти
1.9. Ряди з довільними членами
1.10. Вправи
Глава 2. Похідна; елементарні функції
2.1. Визначення та найпростіші властивості
похідних
2.1.1. Межа функції
2.1.2. Похідна
2.2. Безперервні функції
2.3. Ступінь з раціональним показником,
експонента, логарифм
2.4. Дослідження функцій за допомогою похідної
2.5. Тригонометрія
2.6. Друга похідна та опуклість
2.7. Символи про та О, теорема про середнє, формула
Тейлора
2.8. Знаходження меж
2.9. Вправи
Глава 3. Елементарні поняття топології
3.1. Відносини та лема Цорна
3.2. Топологічні простори
3.3. Безперервність та межі
3.3.1. Межі та безперервність у метричних просторах
3.3.2. Загальне визначення межі
3.4. Компактність
3.5. Зв'язність
3.6. Повнота та поповнення
3.7. p-адичні числа та канторове безліч
3.8. Канторове безліч
3.9. Вправи
Глава 4. Інтеграл
4.1. Рівномірна збіжність; рівномірна
безперервність
4.2. Інтеграл від шматково-безперервної функції
4.3. Невизначений інтеграл
4.4. Деякі класи функцій, інтеграли
яких також елементарні функції
4.5. Почленное диференціювання
4.6. Невласні інтеграли
4.7. Вправи
Глава 5. Функціональні ряди
5.1. Рівномірна та нормальна збіжності
5.2. Аналітичні функції
5.3. Розкладання елементарних функцій у ряди
5.4. Теорема Стоуна-Вейєрштраса
5.5. Вправи
Глава 6. Кратні інтеграли
6.1. Визначення кратного інтеграла
6.2. Інтеграли з відкритих підмножин
6.3. Вправи
Глава 7. Диференціювання функцій кількох
змінних
7.1. Звичайномірні нормовані простори
7.2. Похідна у багатовимірному випадку
7.3. Вищі похідні
7.4. Дослідження функцій на екстремум
7.5. Вправи
Глава 8. Теореми про неявну і зворотну функції та їх застосування
8.1. Теорема про зворотну функцію
8.2. Теорема про неявну функцію
8.3. Заміна змінної у певному інтегралі
8.4. Вправи
Глава 9. Абстрактні різноманіття та векторні
поля
9.1. Абстрактні різноманіття
9.2. Дотичні простори
9.3. Векторні поля: алгебра
9.4. Теорема Арцела-Асколі та диференціальні рівняння
9.5. Векторні поля: геометрія
9.6. Вправи
Глава 10. Диференціальні форми та
інтегрування на різноманіттях
10.1. Інтегрування густин
10.1.1. Розбиття одиниці
10.2. Диференціальні форми
10.2.1. Форми ступеня 1
10.2.2. Інтегрування 1-форм
10.2.3. Небагато лінійної алгебри
10.2.4. Форми довільного ступеня
10.3. Неформальне формулювання теореми Стокса
10.4. Інтегрування форм за різноманіттям
10.4.1. Орієнтація різноманіття
10.4.2. Розмаїття із краєм
10.4.3. Теорема Стокса
10.5. Класичний векторний аналіз
10.6. Сингулярні симплекси
10.7. Поняття про когомологію де Рама
10.8. Теорема Фробеніуса
10.9. Вправи
Предметний покажчик